北京东城区2012年中考数学二模试题及答案
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北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习（二）
数 学 试 卷
学校 姓名 考号
考
生
须
知 1.本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟.
2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回.
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1. 的绝对值是
A. B. C. 2 D. -2
2. 下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
3．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5 个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，摸到黄球的概率是
A． B． C． D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
5． 若一个正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是
A．9 B．10 C．11 D．12
6. 在“我为震灾献爱心”的捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：
金额（元） 20 30 35 50 100
学生数（人） 3 7 5 15 10
则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数是
A．30，35 B．50，35 C．50，50 D．15，50
7．已知反比例函数 的图象如图所示，则一元二次方程 根的情况是
A．没有实根 B． 有两个不等实根
C．有两个相等实根 D．无法确定
8.用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数 ，则y的图象为
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 反比例函数 的图象经过点（－2，1），则k的值为_______．
10. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是 . 主视图 左视图
俯视图
11. 如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处．
使斜边CD∥AB，则∠a的余弦值为__________．
12. 如图， 中， ， ， ，
分别为边 的中点，将 绕点 顺时针旋
转 到 的位置，则整个旋转过程中线段 所扫过
部分的面积（即阴影部分面积）为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 先化简，再求值： ，其中 ．
14. 解分式方程： ．
15．如图，点A、B、C的坐标分别为（3，3）、（2，1）、（5，1），将△ABC先向下平移4个单位，得△A1B1C1；再将△A1B1C1沿y轴翻折，得△A2B2C2.
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）求线段B2C长.
16. 如图，点 在 上， 交 于点 ， ， ．
求证： ．
17. 列方程或方程组解应用题
为了配合学校开展的“爱护地球母亲”主题活动，初三(1)班提出“我骑车我快乐”的口号. “五一”之后小明不用父母开车送，坚持自己骑车上学. 五月底他对自己家的用车情况进行了统计，5月份所走的总路程比4月份的 还少100千米，且这两个月共消耗93号汽油260升. 若 小明家的汽车平均油耗为0.1升/千米，求他家4、5两月各行驶了多少千米.
18．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，点Q的坐标为(0，2)．
（1）求直线QC的解析式；
（2）点P(a，0)在边AB上运动，若过点P、Q的直线将矩形ABCD的周长分成3∶1两部分，求出此时a的值．[来源:学科网]
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BD是∠ABC的平分线.
（1）求证：AB=AD；
（2）若∠ABC＝60°，BC=3AB，求∠C的度数
20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且AED=45．
(1) 试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2) 若⊙O的半径为3，sinADE= ，求AE的值．
[来源:Zxxk.Com]
21．某商店在四个月的试销期内，只销售A，B两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，将决定经销其中的一个品牌．为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图l和图2．
(1)第四个月销量占总销量的百分比是_______；
(2)在图2中补全表示B品牌电视机月销量的折线图；
(3)经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．
图1 图2
22. 如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究.
（1）请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形；
（2）请在图2中，计算裁剪的角度（即∠ABM的度数）.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 已知关于x的一元二次方程 ， .
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若a∶b=2∶ ，且 ，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数 的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D.若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x－y的最大值.
24. 如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连结AE，AC和BE相交于点O.
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？
[来源:学科网]
25. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．
[来源:Zxxk.Com]
北京市东城区2010--2011学年第二学期初三综合练习（二）
数学试卷参考答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 A D C B D C A A
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
题 号 9 10 11 12
答 案 －2 圆柱 π
三、解答题：（本题共30分，每小题5分）
13．（本小题满分5分）
解: 原式 ………………3分
. ………………4分
当 时 ，
原式 . ………………5分
14．（本小题满分5分）
解： ………………1分
去分母得 x-1+1=3（x-2）
解得 x=3. ………………4分
经检验：x=3是原方程的根.
所以原方程的根为x=3. ………………5分
15．（本小题满分5分）
解：（1）A1 点的坐标为（3，－1），B1点的坐标为（2，－3），C1点的坐标为（5，－3）；
A2 点的坐标为（－3，－1），B2点的坐标为（－2，－3），
C2点的坐标为（－5，－3）.
图略，每正确画出一个三角形给2分.
（2）利用勾股定理可求B2C＝ . ………………5分
16．（本小题满分5分）
证明：∵ ，
∴ ∠A=∠ACF, ∠ADE=∠CFE. -------2分
在△ADE和△CFE中，
∠A=∠ACF，
∠ADE=∠CFE，
，
∴ △ADE≌△CFE. --------4分
∴ . ------5分
17．（本小题满分5分）
解：设小刚家4、5两月各行驶了x、y千米. --------------------------1分
依题意，得 ----------------------------3分
解得 -------------------------------4分
答：小刚家4月份行驶1500千米，5月份行驶了1100千米. -----------5分
18．（本小题满分5分）
解：（1）由题意可知 点C的坐标为（1，1）．
…………………………………1分
设直线QC的解析式为 ．
∵ 点Q的坐标为(0，2)，
∴ 可求直线QC的解析式为 ．…………………………………2分
（2）如图，当点P在OB上时，设PQ交CD于点E，可求点E的坐标为（ ，1）．
则 ， ．
由题意可得 ．
∴ ． …………………………………4分
由对称性可求当点P在OA上时，
∴ 满足题意的a的值为1或－1． …………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19.（本小题满分5分）
解：（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠1=∠2.
∵ AD//BC，∴∠2=∠3.
∴ ∠1=∠3.
∴AB=AD. ---------------------2分
（2）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F.
∴ EF=AD=AB.
∵ ∠ABC＝60°，BC=3AB，
∴ ∠BAE=30 °.
∴ BE= AB.
∴ BF= AB= BC.
∴ BD=DC.
∴ ∠C=∠2.
∵ BD是∠ABD的平分线，
∴ ∠1=∠2=30°.
∴ ∠C=30°. -------------------------5分
20.（本小题满分5分）
解：（1）CD与圆O相切． …………………1分
证明：连接OD，则AOD=2AED =245=90． …………………2分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC．
∴CDO =AOD=90．
∴ODCD． …………………3分
∴CD与圆O相切． （2）连接BE，则ADE=ABE．
∴sinADE=sinABE= ． …………………4分
∵AB是圆O的直径，
∴AEB=90，AB=23=6．
在Rt△ABE中，sinABE= = ．
∴AE=5 ．
21．（本小题满分5分）
解：(1)30％； ……………………2分
(2)如图所示. ……………………4分
[来源:Zxxk.Com]
(3)由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A品牌的月销量呈下降趋势，而B品牌的月销量呈上升趋势．所以该商店应经销B品牌电视机． …………………5分
22．（本小题满分5分）
解：（1）将图4中的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图下中
的平行四边形，此平行四边形即为图2中的□ABCD．…………………2分
（2）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30．
∵ 纸带宽为15，
∴ sin∠ABM= ．
∴∠AMB=30°． ………………… 5分
五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（本小题 满分7分）
解：(1) ∵ 关于x的一元二次方程 有实数根,
∴ Δ= 有a2-b2≥0,（a+b）（a-b）≥0.
∵ ,
∴ a+ b＞0,a-b≥0.
∴ . …………………………2分
（2） ∵ a∶b=2∶ ，
∴ 设 .
解关于x的一元二次方程 ，
得 .
当 时，由 得 .
当 时，由 得 （不合题意，舍去）.
∴ . …………………………5分
（3） 当 时，二次函数 与x轴的交点为、C的交点坐标分别为A（－6，0）、（－2，0） ，与y轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D为（－4，－4）.
设z＝3x－y ，则 .
画出函数 和 的图象，若直线 平行移动时，可以发现当直线经过点C时符合题意，此时最大z的值等于－6 ……………7分
24. （本小题满分7分）
解：（1）四边形ABCE是菱形.
证明：∵ △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，
∴ EC∥AB，E C＝AB.
∴ 四边形ABCE是平行四边形.
又∵ AB＝BC，
∴四边形ABCE是菱形. ……………2分
（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴ S△PBO＝ S△QEO
∵ △ECD是由△ABC平移得到的，
∴ ED∥AC，ED＝AC＝6.
又∵ BE⊥AC，
∴BE⊥ED
∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED
＝12×BE×ED＝12×8× 6＝24. ……………4分
②如图，当点P在BC 上运动，使以点P、Q、R为顶点的三角形与△COB相似.
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3.
∴∠2不与∠3对应 .
∴∠2与∠1对应 .
即∠2＝∠1，∴OP=OC=3 .
过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点 .
可证 △OGC∽△BOC .
∴ CG:CO＝CO:BC .
即 CG:3＝3:5 .
∴ CG=95 .
∴ PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×95＝75 .
∴ BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋185＋x＋185＝10.
∴ x＝75
∴ BP＝75 . ……………7分
25．（本小题满分8分）
解：（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.
则
解得
∴ ．……………2分
（2）由 ＝ ．
∴ 顶点坐标为G（1， ）．
过G作GH⊥AB，垂足为H．
则AH＝BH＝1，GH＝ －2＝ ．
∵ EA⊥AB，GH⊥AB，
∴ EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位线 ．
∴EA＝3GH＝ ．
过B作BM⊥OC，垂足为M ．
则MB＝OA＝AB．
∵ ∠EBF＝∠ABM＝90°，
∴ ∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF．
∴ R t△EBA≌R t△FBM．
∴ FM＝EA＝ ．
∵ CM＝OC－OM＝3－2＝1，
∴ CF＝FM＋CM＝ ．……………5分
（3）要使四边形BCGH的周长最小，可将点C向上
平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C1，
得点C1的坐标为（－1，1）．
可求出直线BC1的解析式为 ．
直线 与对称轴x＝1的交点即为点H，坐标为（1， ）．
点G的坐标为（1， ）．……………8分